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浅谈线性变换在中学数学中的应用

发布时间:2018-07-07 09:28
第一章 引 言
运用变换思想解题方法一直都是中学数学考试对数学解题思想方法考查的一个重要考点和中学生必须掌握的一种数学解题手段,也是中学数学学习的重点和难点。本文将重点归纳总结线性变换思想在中学数学的具体方面的应用,并运用实例展示变换法的灵活使用。
线性变换是关于变量的一次变换,用线性变换可使许多问题得到简捷的处理。因此,在教学中,要充分运用线性变换的工具作用,以便为解题带来方便。
同时,线性变换是现代数学的一个重要课题,线性变换作为证明定理而使用的纯抽象概念,在微分方程,空间几何,都有很大的应用,而随着数学的教学改革,线性变换将深入浅出出现在中学数学中,发散学生的数学思维,培养学生的数学能力。
第二章 线性变换基本概念研究
线性变换(linear map),又称线性映射(linear transformation),是从一个向量空间到另一个向量空间的映射且保持加法运算和数量乘法运算。线性变换总是把线性子空间变为线性子空间,但是维数可能降低。
线性空间上的一个变换称为线性变换,如果对于中任意的元素,和数域中任意,都有
公式一


线性代数研究的一个对象,即向量空间到自身的保运算的映射。例如,对任意线性空间,位似是上的线性变换,平移则不是上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现。关于不同基的矩阵是相似的。(式中指零向量)称为的核,称为的象,是刻画的两个重要概念。
对于欧几里得空间,若关于标准正交基的矩阵是正交(对称)矩阵,则称为正交(对称)变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质,对称变换具有性质:。
在数学中,线性变换是在两个向量空间之间的函数,它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用,尤其是对从向量空间到自身的线性映射。
在抽象代数中,线性映射是向量空间的同态,或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。
一个二维的直角坐标,然后逆时针方向旋转了角变为后,那么我们考察一下后会发现,在和的坐标系之间存在这样的转化关系。这里我们进一步来理解这个等式的含义。就是说在坐标系下的某一个点 在坐标系下的坐标变为了。那么我们同样来考察一下这两个坐标系下的基坐标。就是来考察在坐标系下的基坐标(1,0)和(0,1)在新的坐标系下的基坐标下的投影大小用(1,0)和(0,1)来表示为这样的。那么我们就说这个坐标旋转线性变换的变换矩阵。
坐标旋转线性变换的变换矩阵
第三章 线性变换在中学中的应用
在自然科学、工程技术,甚至某些社会科学中,函数是被广泛使用的数学概念之一,其重要意义远远超出了数学本身。就数学自身而言,函数亦处于基础的核心地位,构成中学数学的主体。正比例函数是简单有用的一类函数。基于此,中学数学在介绍函数时总是先引人正比例函数的概念(其实在小学数学就有了,只不过那时没有作为一种概念专门引人)。当将正比例函数的定义域与值域扩充到一般线性空间时,就有了所谓的线性变换。
我们知道,在复平面内,变换确定了一个平移;变换确定了一个旋转;变换确定了一个以原点为中心,以为模的相似变换。令,则上述三种变换的复合变换称为一个整线性变换。
在研究上述线性变换的概念与性质后我们便将线性变换与中学知识相结合具体研究了线性变换在中学数学中的各种应用类型,其中包括以下几种:
(1)线性规划在不等式中的应用
应用线性变换解决不等式问题,可以使不等式问题化繁为简,化难为易。常见的线性变换的方法有:均值线性变换、增值线性变换、几何线性变换等。
以均值不等式为例进行说明
在不等式的证明中,若含有多个实数的和等于一个常数,即,可引入参数,使,,,其中。我们把这种变换称为均值线性变换。
(2)线性规划在二次曲线中的应用
二次曲线及二次曲面在解析几何中占主导地位,而将一般方程化为标准方程又是这个 问题的核心。通过线性变换可以巧妙地解决一般方程化为标准方程的难题。
(3)线性变换与坐标轴旋转
直角坐标系下坐标轴绕原点的旋转在初等数学的有关二次曲线的内容中有着重要作用,通过坐标轴的旋转使一般二次曲线方程化为简单的标准方程,从而使二次曲线归结为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等的标准方程来讨论二次曲线的一般性态成为可能。于是坐标变换公式(代数性)与其曲线性状(几何性 )关系就显得尤为重要。
(4)线性变换极其矩阵表示我们知道,取定有限维线性空间 V 的一个基,则 V 中向量的运算及向量间的关系的讨论可转化为向量坐标的讨论。同样,取定 V 的一个基,则V的线性变换的讨论可转化为其矩阵的讨论。本文通过一些实例说明,借助矩阵工具可方便解有关线性变换的问题,反过来,利用线性变换解决某些矩阵问题往往变得比较容易。
例:求复数域上线性变换空间的线性变换的特征值与特征向量。已知在一组基下的矩阵为:
1); 4);5)。
解  1)设在给定基,下的矩阵为。由于的特征多项式为

故的特征值为,。
当时,方程组,即为


解得它的基础解系为。从而的属于特征值的全部特征向量为

其中为任意非零常数
当时,方程组,即为


解得它的基础解系为,从而的属于特征值的全部特征响向量为

其中为任意非零常数。
4)设在给定基下的矩阵为,由于的特征多项式为

故的特征值为,,。
当时, 方程组,即为


求得其基础解系为,故的属于特征值2的全部特征向量为


其中为任意非零常数。
当时, 方程组,即为


求得其基础解系为,故的属于特征值的全部特征向量为


其中为任意非零常数。
当时,方程组,即为


求得其基础解系为,故的属于特征值的全部特征向量为


其中为任意非零常数。
5)设在给定基下的矩阵为,由于的特征多项式为

故的特征值为(二重),。
当时,方程组,即为


求得其基础解系为,故的属于特征值1的全部特征向量为


其中为任意不全为零的常数。
当时,方程组,即为


求得其基础解系为,故的属于特征值的全部特征向量为

其中为任意非零常数。
  求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根,再对每个根求得所对应的特征向量,但一定要注意表达成基向量的线性组合形式。
24。1)设是线性变换的两个不同特征值,是分别属于的特征向量,证明:不是的特征向量;
2)证明:如果线性空间的线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量,那么是数乘变换。
证明  1)反证法。假设是属于特征值的特征向量,即

而由题设可知,且,故

比较两个等式,得到

再根据是属于不同特征值的特征向量,从而是线性无关性,因此,即。这与矛盾。所以不是的特征向量。
2)设是的一组基,则它们也是的个线性无关的特征向量,不妨设它们分别属于特征值,即
,。
根据1)即知。否则,若,那么,且不是的特征向量,这与中每个非零向量都是它的特征向量矛盾。所以,对于任意的,都有,即是数乘变换。
4线性变换在中学数学中的典型应用举例与技巧分析
     例1设是线性变换,如果,证明:

证明  当时,由于,可得

因此结论成立。
  假设当时结论成立,即。那么,当时,有

即对结论也成立。从而,根据数学归纳法原理,对一切结论都成立。
    例2设是线性空间的一组基,是上的线性变换,证明可逆当且仅当线性无关。
若是可逆的线性变换,设,即

而根据上一题结论可知是单射,故必有,又由于是线性无关的,因此。从而线性无关。
反之,若是线性无关的,那么也是的一组基。于是,根据教材中的定理1,存在唯一的线性变换,使得,。显然
,,。
再根据教材中的定理1知,。所以是可逆的。
本例利用了上一题的结论及教材中的定理1构造的逆变换
例3设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为

      1)求在基下的矩阵;
      2)求在基下的矩阵,其中且;
      3)求在基下的矩阵。
可以利用定义直接写出线性变换的矩阵,也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解。
解  1)由于



故在基下的矩阵为

2)由于



故在基下的矩阵为

3)由于从到的过渡矩阵为

故在基下的矩阵为

本例根据线性变换的矩阵的定义,直接给出了1)和2)所求的矩阵;3)借助了过渡矩阵,利用相似矩阵得到了所求矩阵。事实上,这三个题目都可以分别用两种方法求解。
例4证明:

相似,其中是的一个排列。
本例利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义。
证法1 设是一个维线性空间,且是的一组基。另外,记
,。
于是,在基下,矩阵对应的一个线性变换,即https://www.xueshulunwenwang.com

从而,。又因为也是的一组基,且

故与相似。
  证法2 设
 与 。
对交换两行,再交换两列,相当于对左乘和右乘初等矩阵和,而


即为将中的和交换位置得到的对角矩阵。于是,总可以通过这样的一系列的对调变换,将的主对角线上的元素变成,这也相当于存在一系列初等矩阵,使得

令,则有,即与相似。
例题中证法1利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质;证法2利用了矩阵的相似变换,直接进行了证明。
结论
线性变换是线性代数中最基本概念之一,其理论有深刻的意义,其实际在应用中各个领域也发挥着重要的地位,线性变换也是一种较好的变量变换,合理应用既优化了解题过程,提高了解题速度,也增强了解题的灵活性。本文首先探讨了线性变换的概念与定义,并对其各种应用进行了简要介绍,并对个别应用进行举例分析,最后运用线性变换的思想与中学知识结合研究,来研究线性变换在中学数学教学中的应用,并利用涉及线性变换的大量例题,对解题过程与技巧进行剖析,成功对线性变换在中学数学中的应用进行了探索。
参考文献
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