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高考中求角问题的研究与应用

发布时间:2018-07-21 11:04
一、绪论
(一)选题背景
在我国,从上个世纪90年代以来开始的近20年的高中数学课程改革来看,立体几何内容的选择以及处理方式是每次改革的重点之一。2001年前后,大范围的基础教育课程改革在我国启动,其中几何课程的改革力度最大,此部分又以立体几何改革为重点。而立体几何求角问题在高考中占据了极其重要的位置,它主要包括线线角、线面角、二面角。求角问题遍布高考试卷的每一个题型,全面地考察考生对立体几何的掌握程度。
在1990年国家教委制定了《全日制中学数学教学大纲》(修订本),并且根据它对全套教材进行了调整和修改(高维宗,2006)。1996年的《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》推行“必修、限制选修和任意选修”制度,立体几何内容给出了 9(A)和9 (B)两种方案,学校可以在两种方案中任选一种执行。方案9 (A)的立体几何内容不仅包括原来《立体几何》中“直线和平面” 一章的内容,而且方案9 (B)在方案9 (A)的基础上增加了空间向量的初步知识,并利用空间向量解决立体几何求角问题,这样学习9(B)的学生就掌握了两种解决立体几何求角问题的方法一一综合法和向量法。另外,高中数学教学大纲也将线线角、线面角、二面角等问题列为重点教学及考察内容。
几何体是高考的必考内容.从近几年的高考,以2005年的高考试题为例,考查的形式与特点是:
(1)以选择题、填空题的形式考查基础知识,如线面位置关系的判断,空间角与距离的求解,体积的计算等.其中线面位置关系的判定又常会与命题、充要条件等有关知识融合在一起进行考查.
(2)以解答题的形式考查立体几何的综合问题,如空间平行与垂直关系的论证,空间角与空间距离的求解,探索性问题,展开与折叠问题,定值与最值问题等.立体几何的解答题一般作为整套试卷的中档题出现,有2、3个问,各问之间在解答时具有一定的连贯性.
(3)立体几何试题中,考查线面的位置关系以及角与距离的求解和综合性问题时,往往是以多面体(棱柱、棱锥等)为载体进行考查的.
(4)鉴于人教版的教材中本章内容有A、B两个版本,所以立体几何解答题的解答,既可以利用A版中传统的几何方法求解,也可以利用B版中空间向量的方法求解,并且多数情况下利用空间向量求解会更容易一些.
在国外,也己经有很多国家都把向量几何学作为高中数学的核心内容。例如,美国没有综合法的几何学,但是有向量矩阵表示的几何变换;日本的高三选修内容中有少量的向量几何;法国有少量的综合平面几何,利用向量处理立体几何图形是几何的重要内容;英国没有综合法的立体几何,但是有用向量方法处理线面关系的内容;德国的高中数学非常艰辛,甚至超过我国大学里的高等数学,他们尽管向量几何不是很多,却很重视变换几何。俄国是以上所列国家中对综合几何要求最高的,同时还要求向量几何、变换几何。从总体上来看,目前国际数学教育中几何内容的一个明显特点就是用向量处理或代替综合几何。
(二)研究意义
在解决立体几何求角问题的层次上,定义法是最直接的方法,但并非所有的问题都可用定义法作为最佳解决方案。在我国中学数学教育中,长期以欧氏几何的体系和方法作为立体几何教学的主体,欧氏几何教学可以使学生养成缜密合理的思考习惯,但另一方面又是学生学习立体几何的困难所在。空间向量的引入,为学生提供了一种用代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的工具。利用向量处理问题,能缩短复杂的推理过程,减少学生对空间形式的依赖和想象。故向量法是解决求角问题的又一有效方法。
随着教学改革的推进,考生们需掌握的知识越来越多,有效地、准确地归纳总结每个考点的解决方法是学好各门学科的关键。本论文旨在总结立体几何中重点求角问题的解决方法,并通过数据展现每个方法的使用频率,为考生们以及教师们提供良好的借鉴。
对于学生而言,空间向量引入立体几何后,他们不仅要掌握传统的立体几何解题方法(以下简称综合法),并且要学会利用空间向量解决立体几何问题(以下简称向量法)。综合法对空间想象能力和逻辑思维能力有较高的 要求,并且要求掌握大量的定理、推论等理论知识。用空间向量解决立体几何问题的方式主要有两种:一种是代数式运算方式;另外一种是向量坐标运算方式。向量坐标运算方式的优点是可操作性更强,所要求的技巧更少,容易掌握,但缺点在于要准确地写出各个点的坐标,在计算方面容易出错。对于不方便建立直角坐标系的题目,就要使用代数式运算方式,这时运算技巧要相对强一些。
由于教材和课程标准中立体几何和空间向量的内容都发生了变化,这就需要教师改变以往立体几何的教学方法与教学模式,寻求一种新的教学方法来让学生
更好地学习立体几何。调查学生在立体几何问题解决中对综合法和向量法的使用
情况,对教师的教学有很好的指导意义,也能为当前课程改革的实施提供重要的参考价值。
二、立体几何中求角问题的解决方法
(一)线面角
1.定义
    直线与平面交于点,过直线上一点作平面的垂线,则与直线构成的锐角或直角即为直线与平面的线面角。
这个是本文小标题定义下的内容,因为好多公式不能显示,只能用图片表达

 
方法一:直接法——利用线面垂直,找或作出线面角再求.下面用这种方法求(I)与平面BEP所成的角.
解:不妨设正三角形ABC的边长为3,则在三角形AEF中,AE=1,AF=2,角A为60度,故EF垂直AE
在图2中,垂直EFBE垂直EF,所以角二面角的平面角。
因为此二面角为直二面角,所以角为直角。因为垂直BE,从而垂直面BEP,所以角为与平面BEP所成的角.
在直角三角形中,=1,BE=2,所以角的正切值为=0.5,故角,与平面平面BEP所成的角为.
方法二:间接法—不找(作)线面角,利用空间向量.
 
下面用这种方法再求(Ⅱ)与平面所成的角。
解:由(I)知垂直平面BEPBE垂直EF.建立如图3所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)、(0,0,1)、(2,0,0)、(0,,0)、(1,,0)。
故。
对平面内的任一非零向量,存在不全为零的实数,使,,所以。因为直线与平面所成的角是向量与平面内非零向量夹角中最小者,故可设,从而。
故向量与向量夹角中最小者为60度,直线与平面所成的角是60度。
(二)线线角
1.定义
设是异面直线,过空间一点O引,则所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的线线角。
   线线角的范围:[0,90°]或[0,]。
2.例题及其解决方法
(2008年高考数学全国卷第18题变题)如图(1),是一直角梯形且⊥平面,与平面成30°角.
(1)若,为垂足,求证:;
(2)求异面直线与所成角的大小(用反三角函数表示)。
在此,我们只写(2)的解法:
解法一:定义法
G、H分别为ED、AD的中点,连BH、HG、GB(图(1))。
易知且。故。
G、H分别为ED、AD的中点
∴ HG//AE  则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角。
而,,,
在三角形BHG中,由余弦定理得,∠BHG=
所以∠BHG=∴ 异面直线AE、CD所成角的大小为。
解法二:向量法
如图(2)所示建立空间直角坐标系A-xyz,
故,。

故异面直线AE、CD所成角的大小为。
(三)二面角
1.定义
    从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角(这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面)。
二面角的范围:0≤(二面角不小于0°,不大于180°)
2.例题及其解决方法
解法一:定义法
(2010全国卷I理,19题)如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCDAB//DC
AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB; 
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 . 
下面我们仅对(Ⅱ)的求法进行总结。
由知
,又,故三角形ADE为等腰三角形。
ED中点F,连接AF,则
.
连接FG,则FG//EC,FG//DE,所以,角AFG是二面角A-DE-C的平面角。
连接AG,,

所以二面角A-DE-C的大小 为120度。
     
解法二:三垂线法
首先我们先引进三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
(2009山东卷理) 如图,在直四棱柱中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CDAB=4, BC=CD=2,  =2,  分别是棱AD、、的中点。
(1)证明:直线//平面; 
(2)求二面角的余弦值。
 
解(2)因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,三角形BCF为正三角形,取CF的中点O,OBCF,又因为直四棱柱中,⊥平面ABCD,所以,所以OB⊥平面,过O在平面内作,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角的一个平面角, 在正△BCF中,,在直角三角形中, △OPF∽△。
=∵  ∴
在直角三角形OPF中,,所以二面角的余弦值为。
解法三:射影面积法+
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式求出二面角的大小。
(2008北京理) 如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,, AP=BP=AB,PCAC。(Ⅰ)求证:PCAB^; 
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小。
    
解(Ⅱ)AC=BC,AP=BP,APC△≌△BPC,PCAC,PCBC。
又,即且,故BC平面PAC。
AP中点E.连结BE,CE,因为AB=BP,所以BEAP. 
因为ECBE在平面PAC内的射影,所以. 
∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影,
于是可求得:


设二面角B-AP-C的大小为,则

则二面角B-AP-C的大小为。
解法三:向量法
如图所示,直三棱柱中,,AC=1,CB=侧棱=1,侧面的两条对角线交点为D,的中点为M。
1)求证:CD平面BDM; 
(2)求面与面CBD所成二面角的大小。
 
解:(2)以坐标原点建系,

设平面BCD的一个法向量为,则
,令,得
同理可得平面的一个法向量为。

又,故两者同号。
所以所求二面角的平面角为。
三、考生对各种方法的使用情况
    从本文第二部分可以看出,对于立体几何中角的求法,概括地讲,它主要分为两大类:向量法与非向量法即综合法。综合法主要是通过做辅助线找出二面角的平面角来进行的,一旦辅助线正确做出,其余的问题就容易解决了,所以这种方法的关键在于辅助线,然而很多情况下辅助线不是很容易就能做出来的,那么就需要采用向量法。向量法是立体几何中适用性最强的方法,这种方法的关键在于坐标系的选取以及各点坐标的正确写出,计算量较大,但是这种方法也有一些不足之处,比如一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角相等()或互补()。但到底是相等还是互补,在具体解题时,很多学生感到无从下手,往往任凭感觉来判断,缺乏严格的推理、证明,不严谨的求学风格也自然形成。
(一)有关选择方法的调查研究
   为了调查实际情况下考生对于两种方法的使用情况,本文做了以下实验:
   以高二年级的100名学生作为研宄对象,通过问卷和访谈的形式对解答立体几何中求角问题时学生使用两种方法的习惯、解题速度、精确度和掌握的难易程度等方面进行了调研。调查结果显示:接受调查的100名学生中,75%的学生选择向量法,25%的学生选择综合法。根据此结果,本文用Excel作出如下柱状图:
 
 
 
(二)有关得分率的调查研究
    以高三年级的学生作为研究对象,将全班学生分成四组,规定其中两组用综合法,另外两组用向量法,在一节课的时间内完成立体几何的四道大题,结果发现得分在80-90分区间的学生82%的使用向量法,得分在60-70分区间的学生90%的使用综合法。这说明使用向量法的学生得分率较高。
 
 
另外,本文要求学生在一节课内完成四道立体几何题目,方法不限,四道习题经过加工设计为:用综合法解题便捷,用向量法建立基底(不一定两两垂直)可以完成,但建立空间直角坐标系(两两垂直)难以在规定的时间内完成。结果发现学生受到向量法解题思维定式的影响,在建立空间直角坐标系无法深入解题后大部分学生选择放弃,而不善于更换思维,用建立基底或者是综合法来解答。笔者建议教师应该注重学生空间想象能力和逻辑推理能力的培养,进行多角度训练,引导学生选择合适的方法。
 研究结论及其教育意义
(一) 研究结论
本文的第二部分针对立体几何中的线面角、线线角、面面角举例总结了各种立体角的求法,第三部分通过实验调查了学生们对于向量法和综合法两种方法的使用习惯以及得分率,得出以下结论:
向量几何的学习比传统几何容易,因为学生在高一己经学习了平面向量,只要稍加推广就得到了空间运算体系,所以学生感觉学习空间向量直观,并不像传统的几何知识那么抽象;解题习惯上向量法优于传统方法,因为向量法主要是计算,不需要太强的空间想象能力,更容易被学生接受;方法选择上向量法优于传统综合几何方法,因为向量法有一定的解题规律,有统一的解法,所以学生在解题时更愿意采用向量法。
任何方法都有它生存的空间和应用的范围,向量坐标法思路简单但是计算复杂,向量的非坐标法在空间来去自由,但是求线面角问题时会比较繁琐,综合法需要思维技巧,但是计算简便。
在平时的教学中,教师们不应该厚此薄彼,应该平等对待向量法和综合法。向量法固然简单易入手,但计算量复杂,向量坐标极易写错,角度的判断也容易出现错误。综合法需要大量的知识储备和空间思维能力,但是一旦思路正确,计算将会十分简单。在教学的过程中,教师应该注重培养学生的思维能力,增强学生的空间想象力,在可以使用综合法的情况下,尽量不使用向量法。
(二)教学意义
虽然每种角问题都有若干种求解方法,但总体来讲,解决方法分为两大类,即向量法和综合法。向量法就是建立空间直角坐标系,利用空间向量求角,这种方法简单、方便,不需要大量思考,但是计算量较大,并且坐标容易写错,向量法中公式的记忆对学生来说也是一个困难。综合法就是利用普通的几何知识,增加辅助线来解决求角问题,这种方法思维比较复杂,需要考生掌握大量的几何知识以及较高的思维技巧,不过这也正是综合法的优势所在,因为这样能够更好地锻炼他们各方面的能力,更有意义。
学生在学习知识的过程中,思维能力的发展和一般科学研宄方法的获得对其以后进一步的学习更加重要,教师在教学中不应对向量法和综合法厚此薄彼,而应该具体问题具体分析,选择恰当的方法。
根据以上研究结果,本文提出以下几点建议:
一、适当增加空间向量的教学时间,并在教学后进行强化。
虽然空间向量是求解立体角问题的有效方法,但由于对空间向量的接触时间较短,很多学生都没有使用空间向量的习惯。大多数情况下,考生们直接使用综合法,当综合法无法进行下去的时候,考生们才会选择向量法。
加深学生对公式的理解,将学生从机械记忆提升至理解记忆。
    教师在教学中应该注重学生对公式的理解,不仅要让学生知其然,还要让学生知其所以然,弄清公式的来源,建立知识间的因果联系,形成理解记忆,这样才能记得更快,更牢,进而灵活运用。如果学生对公式不理解,仅靠死记硬背,就经常会遗忘或者记忆不准确,比如一些学生把点到面的距离公式与两个向量之间的夹角公式混淆起来了,这对向量法的使用是很不利的。
二、要注重学生学习的过程,不能只看重结果。
    在教学中有一些老师一切向分数看齐,只关注高考的考点,对于高考中分值比较大的内容就会很重视,而对于不影响分数的知识就疏于强调。比如,对于空间坐标系的建系法则,由于在高考中学生的建系只要符合两两垂直就不会扣分,所以在教学中就比较忽视,很多老师不强调这个法则就直接进入操作了,导致学生对这个法则很模糊,不少学生建立的坐标系都不符合右手法则。数学教学不只是传授给学生数学知识,还要培养学生严谨求学的态度。教师不能只关注学生学习的结果,更应关注学生学习的过程,提高学生的数学素养。
四、在教学中处理好向量法和综合法的关系。
    空间向量的引入为学生解决立体几何问题提供了一个很好的工具,降低了学生学习立体几何的难度,但是对学生空间想象能力的训练却不及综合法。这两种方法各有所长,所以在教学中教师要正确的处理好这两种方法之间的关系,不能顾此失彼,而应让学生能够根据题目特点灵活使用两种方法。
 
 
参考文献
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