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含风电机组组合问题的外逼近 法与随机外逼近法

发布时间:2022-11-20 16:54
摘 要 II
ABSTRACT IV
第1 章 绪论 1
1.1论文的研究背景及意义 1
1.2含风电机组组合问题的研究现状 2
1.3本文的主要研究工作与章节安排 6
第2 章 理论基础 8
2.1外逼近法 8
2.2随机外逼近法 11
2.3小结 15
第3 章 计及弃风和污染物排放机组组合问题的外逼近法 16
3.1 引言 16
3.2计及弃风和污染物排放机组组合问题的数学模型 16
3.2.1 相关符号说明 16
3.2.2计及弃风和污染物排放机组组合问题的 MIQP 模型 18
3.3计及弃风和污染物排放机组组合模型的外逼近法 22
3.4数值仿真结果及分析 23
3.5小结 29
第4 章 含风电机组组合问题的随机外逼近法 30
4.1 引言 30
4.2风电功率的不确定性建模 30
4.3含风电机组组合问题的混合整数半无限规划模型 33
4.4求解混合整数半无限规划模型的随机外逼近法 35
4.5数值仿真结果及分析 37
4.6小结 41
第5 章 总结与展望 42
VII
5.1 结论 42
5.2主要创新点 42
5.3展望 43
参考文献 44
致谢 51
攻读学位期间发表论文情况 52
VIII
第 1 章 绪论
1.1论文的研究背景及意义
电能是当今社会普遍应用的一种二次能源,我国需要巨大的电能支撑来实现工业化 和现代化的目标。当前我国电能供应主要是以消耗煤炭、石油、天然气等化石能源为主, 但其带来的化石能源储量枯竭和对环境造成较为严重的污染问题,均不符合我国目前所 提倡的节能减排方针,因此加快开发和利用可再生能源被认为是解决能源和环境危机的 战略性支点[]。可再生能源通常主要以水能、风能、太阳能等为代表,作为主要的确定 性可再生能源,水力发电的开发利用已经接近饱和[];而作为主要的非确定性可再生能 源,风电和太阳能发电的开发具有很大潜力。国家能源局发布的可再生能源数据表明, 全球可供利用的风电资源已经超过一万亿千瓦,太阳能资源远超过一百万亿千瓦,故目 前二者可供开发利用的总量足够供应人类所需要的全部能源[3]。国家发改委也发布相关 公告[4],表明目前地球上可供利用的风力资源和太阳能资源已经占据主要地位,且二者 均获得了大幅度超预期的发展。因此,风力发电和太阳能发电将会成为未来可再生能源 开发利用的主要研究方向。
机组组合(unit commitment, UC)是电力系统中的一个经典优化问题[5],其主要研究 在满足系统负荷需求、旋转备用以及机组自身条件等情况下,如何确定火电机组的启停 计划及具体出力情况,使系统在整个计划周期内总运行费用最小。从数学上讲, UC 问 题是一个大规模复杂的混合整数规划问题,难以在合理时间范围内有效求解。近年来, 随着以风电为代表的可再生能源大规模加入电力系统, UC 问题变得更大规模,不确定 性也更强。为了能够确保风电并网后整个电力系统运行的安全性与可靠性,并实现经济 效益最大化,含风电 UC 问题的研究已经成为电力系统热点研究问题之一。
基于上述研究背景,本学位论文将主要从确定性和不确定性两个方面分别考虑含风 电 UC 问题的相关数学模型,并利用有效算法去快速求解。这对促进我国可再生能源发 展、转变电力未来发展方向,以及对其他可再生能源发电(如太阳能发电等)在今后大规 模并网后的研究均具有非常重要的理论借鉴意义和实用价值。
1.2含风电机组组合问题的研究现状
近年来,随着风电大规模并入电力系统,UC问题的随机性和不确定性表现更加突 出,导致其模型愈加复杂,求解也变得难上加难[6]。研究含风电 UC 问题的一大困难在 于其风电功率的不确定性,导致当前风电预测与实际输出存在较大误差。因此风电功率 的预测显得非常重要,它是提高风电效益和整个电力系统安全经济运行的一个重要依据。 考虑到风电所带来的经济效益,含风电 UC 问题得到了众多学者的关注和研究,并取得 了一定的研究成果。依据广大学者们对风电不确定性处理思路的差异,可将含风电 UC 问题的研究成果分为确定性和不确定性两类:
1.确定性模型
确定性模型的基本思想是通过额外增加一定的旋转备用容量来应对风电功率的预 测误差,从而保证整个电力系统安全可靠的运行。文献[7]采用几种有效约束条件来确定 电力系统中风力发电机容量的最大比例,并利用分支定界法和动态规划法来协调风电并 网后系统的安全运行;文献[8]利用蓄电池储能以增加系统备用来应对风力发电的随机性, 并提出基于正向动态规划的方法去求解相关问题;文献[9]提出考虑运行成本和风电相适 应的确定性综合模型,然后将含风电 UC 问题转化为多目标约束问题,并借助交替方向 乘子法与非线性规划相结合的方法去求解对应的多目标约束问题;文献[10]通过寻找最 优弃风,建立以火电机组深度调峰和弃风成本最小为目标的优化模型,并借助粒子群优 化算法去求解相关确定性模型;文献[11]以发电成本和污染物排放总成本最小化为目标, 建立考虑系统上下旋转储备约束的含风电 UC 模型,并利用二进制粒子群和原对偶内点 优化算法去求解相关确定性模型。
确定性模型与计算都相对简单,且易于实现,在一定程度上也能保证电力系统安全 可靠的运行,但合适的备用容量难以具体确定,所以容易导致备用过剩或不足,从而影 响整个电力系统运行的经济性和安全性。
2.不确定性模型 确定性模型没有充分考虑风力发电中的随机变化因素,也没有对风电的不确定性进
行统计分析。因此国内外学者针对风电并网后系统的不确定性开展了进一步的深入研究, 2 研究相应的不确定性模型。根据对风电不确定性所采用的不同处理方式,可将含风电 UC 问题的不确定性模型分为以下几类:
(1)基于场景的随机规划模型
基于场景的随机规划(stochastic programming, SP)模型的主要思想是借助于风电功 率的大量历史数据,抽样生成大量场景以及场景的概率来模拟风电的不确定性,进而将 不确定性问题转换为确定性问题进行求解。文献[12]考虑多阶段随机规划问题的场景树 建模,并提出基于稳定性理论的启发式算法生成相应的初始场景;文献[13]提出了基于 非线性规划的方法,其可用于生成有限数量且满足特定统计特性的场景;文献[14]考虑 基于状态转移的多场景 UC 模型,并提出利用离散化的方法去求解相应模型;文献[15] 考虑同时含风电、火电、核电和抽水蓄能电站的多阶段随机UC模型,并提出基于粒子 群算法的场景缩减方法;文献[16]考虑随机UC问题,提出了基于多场景树的求解方法, 提高了求解相关模型时的计算精度以及缩减了相应的计算时间。
总的来说,基于场景的随机规划法可较为客观地反映出不确定性因素对电力系统优 化运行的影响,现已经成为模拟风电并网后系统优化运行的重要方法之一。但是这类模 型中仍存在一定难点,例如场景数量与场景质量的协调,即场景数量越多,质量越高, 得到的结果越精确,但此时模型的计算量很大,且计算效率也差,有时甚至得不到结果。 此外,一些极端场景由于发生概率较小也容易被删除。
(2)机会约束规划模型
机会约束规划(chance constrained programming, CCP)模型的基本思想是允许模型以 一定的概率满足原来的刚性约束条件,即将风电出力视为服从某种概率分布的随机变量, 用机会约束即概率约束去替代包含随机变量的原刚性约束条件,并要求约束条件至少以 一定的置信水平成立。文献[17-18]利用基于期望值和机会约束的随机优化方法来处理风 电出力不确定的 UC 问题;文献[19]考虑含风电 UC 问题的机会约束两阶段随机规划模 型,并利用组合样本平均近似算法去有效求解相应的随机模型;文献[20-21]考虑基于抽 样平均逼近法、混合整数线性规划法、粒子群算法等的含风电UC问题,并提出相应的 CCP模型;文献[22]建立了含随机风电的近似CCP模型,并提出了两种基于分位数和p 效率的近似方法,可在更短的时间内提供可行的解决方案;文献[23]将风损耗概率和输
3
电线路重载概率建模为机会约束,并提出了求解机会约束的两阶段随机规划方法;为了 解决风力发电的变异性而增加意外超载和级联事件的风险问题,文献[24]考虑 N-1 安全 性和机会约束UC问题,并将其表述为限制失效概率的混合整数二阶锥问题,同时借助 于改进的 Benders 分解算法去有效求解相关问题;文献[25]提出了一个两阶段机会约束 随机优化模型,并采用增强的双线性Benders分解法和强有效切割来有效地求解所提出 的优化模型。
综上所述,机会约束建模法可以定量描述风力发电满足的概率分布函数,在一定程 度上解决了风力发电的不确定性给传统 UC 问题造成的影响。但由于机会约束规划法中 引入了概率形式的约束,导致无法直接去求解,通常是将机会约束转化为合适的确定性 约束,然后求解相应的确定性模型。然而,除了一些特殊情况外,机会约束往往难以转 化为确定性。因此,模型的有效求解成了机会约束规划的一大难点。
(3)鲁棒优化模型
鲁棒优化(robust optimization,R0)是由鲁棒控制理论发展而来的一种悲观主义的决 策方法,其最基本的特点是事先不需要确定随机因素风电的概率分布,而是将风电出力 的波动性限制在一个不确定性集合内,并确保在此范围内所求得的电力系统的运行方案 一定可行。鲁棒优化模型的求解思路则主要是找不确定性集合所包含的极端特殊情况, 并借助相应技术将其转换为确定性模型进行求解。为提高风电的可调度性,降低风力发 电的不确定性和可利用资源的成本,文献[26]主要考虑战略性弃风(wind generation curtailment, WGC)的鲁棒机组组合(robust unit commitment, RUC)模型,并提出了基于 列生成的算法来求解相关模型;文献[27]考虑数据驱动的自适应鲁棒优化模型,并借助 分解算法去求解;文献[28]考虑鲁棒风险约束 UC 问题,通过平衡运行成本和运行风险 构建了一个可调、灵活的不确定性集,并利用强对偶理论去求解;文献[29]考虑大气扩 散与机组组合调度相结合的模型,采用鲁棒优化方法可确保污染物浓度约束的鲁棒性; 文献[30]考虑在风电、负荷和N-k故障不确定性条件下的两阶段鲁棒安全约束机组组合 模型(security constrained unit commitment, SCUC),并利用 Benders 分解和对偶理论 相结合的方法去求解,该方法能有效降低不确定集的保守性,保证优化结果的经济性和 安全性;文献[31]主要考虑一个复杂的三阶段鲁棒优化问题,并利用次最优算法去求解。
4
由于不需要事先给定风电的随机概率分布,鲁棒优化建模非常方便,但由于该类模 型中把含风电的所有约束考虑成在相应范围内必须成立的硬性约束,并在不确定变量最 劣情况下进行求解,因此所得到的电力系统调度计划存在一定的保守性,即鲁棒优化建 模是以牺牲一定的经济性为前提来维持电力系统的安全性。
(4)分布式鲁棒优化模型
分布式鲁棒优化(distributionally robust optimization, DRO)是基于鲁棒优化与机会约 束规划的一种新兴优化方法,其基本思想是将鲁棒优化中的硬性约束弱化为一定概率意 义下的机会约束,使模型约束成立的概率大于一定的置信水平。DRO考虑潜在不确定参 数分布信息的同时,不需假设不确定参数的确切分布,在该层面上解决了不确定性环境 下鲁棒性和经济性的权衡问题,较好地平衡了鲁棒优化和随机规划的优缺点。
针对大规模随机风电并网以及电力系统在不确定运行条件下的最优调度问题,文献 [32]提出了相应的DRO模型,旨在寻找风电概率分布不确定性的鲁棒解,并将DRO模 型转化为等价的确定性双线性矩阵不等式(bilinear matrix inequality, BMI)问题来进行求 解;文献[33]考虑利用DRO方法处理风电预测误差,建立了具有随机变量多面体支持的 两阶段分布鲁棒UC模型的等效模型,即混合整数半定规划(mixed-integer semi-definite programming,MISDP)模型,并引入了一种新的割平面方法去求解;文献[34]考虑分布鲁 棒的机会约束优化问题,主要通过紧松弛方法来凸化UC问题的相关约束,并采用一定 的线性化技术得到一个混合整数二阶锥规划去求解;文献[35]考虑典型的两阶段含风电 UC的DRO模型,通过模糊集定义风电功率分布族来捕获风电功率的不确定性,并引入 描述风力发电分布特征的辅助随机变量,利用线性决策规则逼近的方法去求解;文献[36] 考虑自适应分布式鲁棒UC模型,将原问题分为日前UC主问题和最坏情况下的经济调 度子问题,并利用强对偶定理和大M方法将子问题转化为MILP问题,然后利用列生成 算法迭代求解;文献[37]考虑两阶段样本鲁棒优化(sample robust optimization,SRO)模型, 该模型等效于带有Wasserstein型模糊集的两阶段DRO模型,与等效的DRO模型相比, 两阶段 SRO 模型可以近似地转化为计算效率更高的形式。
与随机规划相比,DRO对精确概率分布数据的依赖较小,且模糊集中包含了一些分 布信息,产生了更少的保守性结果,因此 DRO 的性能一般优于传统的鲁棒优化方法。
5
正因为 DR0 解的保守性介于鲁棒优化和随机优化之间,其在电力系统中也得到了广泛 地应用。
(5)模糊层次分析法
模糊层次分析法(fuzzy analytic hierarchy process, FAHP)是20世纪70年代美国著名 的运筹学专家 T.L Saaty 教授提出的一种将定性和定量结合在一起的系统分析方法[38], 该方法应用非常广泛,并且在选择系统最优解决方案与具体量化评价指标时,均提供了 强有力的依据。文献[39]基于模糊层次分析法和几何均值模糊层次分析法考虑风电场的 相关选址问题;文献[40]考虑风力发电机组性能评价模型,提出利用因子分析计算权重 的模糊综合评价方法;文献[41]考虑模糊层次分析法和改进的灰色关联分析(grey relational analysis,GRA)的综合评价模型,并将其应用于风力-太阳能发电系统的电能质 量评价指标体系;文献[42]针对风电场出力的间歇性与不可预测性,通过定义隶属度函 数将问题模糊化,应用模糊理论建立包含风电场的机组组合模型,并利用最大化满意度 指标法将原初始问题转化为非线性规划问题,同时采用遗传算法求解该优化问题;文献 [43]针对目前风力发电机组系统可靠性分配问题提出了一种改进的 FAHP 可靠性分配模 型,在一定程度上提高了整个电力系统的稳定性;文献[44]考虑同时包含模糊约束与目 标的两阶段对称模糊优化模型,并利用简化运算的外点迭代求解法来更加有效地求解相 关问题。
在模糊层次分析法中,主要是将不确定的研究对象看作模糊数,建立相应的隶属度 函数,并通过隶属度函数来模糊处理其不确定性。模糊建模的最终结果与隶属度函数的 选取有直接关系,且通常是根据已有经验来选择隶属度函数,目前并没有一套相对来说 比较客观、规范的确定性方法,因此,通过模糊分析建立的模型其本身的精确度一般无 法去验证。
1.3本文的主要研究工作与章节安排
基于上述对含风电 UC 问题国内外研究现状的分析,本学位论文将主要从确定性和 不确定性两个方面分别研究含风电 UC 问题的数学模型及有效求解方法,即含风电 UC 问题的外逼近法(outer approximation method, OAM)与随机外逼近法(stochastic outer
6
approximation method, SOAM)。本学位论文的主要工作及章节安排如下:
第1章:绪论。主要介绍本学位论文的研究背景及意义,含风电UC问题的国内外 研究现状以及本文的主要研究工作与章节安排。
第 2 章:理论基础。主要介绍本学位论文所用到的外逼近法与随机外逼近法这两种 数学优化方法的基本思想和具体算法步骤。
第3章:计及弃风和污染物排放UC问题的外逼近法。本章主要通过预留一定的备 用电量来应对风电的不确定性,并借助于一些线性化技术来建立相关问题的确定性混合 整数二次规划(MIQP)模型;然后利用外逼近法对其进行求解,同时进行数值仿真。
第4章:含风电UC问题的随机外逼近法。本章将风电出力作为随机变量进行考虑, 建立含风电UC问题的一个不确定性混合整数半无限规划(MISIP)模型;然后利用随机外 逼近法对其进行求解,并进行数值仿真。
第 5 章:总结与展望。对本学位论文所研究的工作进行概括与总结,并且展望含风 电 UC 问题在今后可以进一步深入研究的问题与方向。
第 2 章 理论基础
为了方便本学位论文后续章节中相关数学模型的分析与求解,本章主要介绍两种数 学优化方法,即外逼近法与随机外逼近法的一些基础理论知识和算法的具体步骤。
2.1外逼近法
外逼近法(outer approximation method, OAM) [45-51 ]是求解大规模复杂问题的有效方 法之一,最早是在1986年由Duran M和Grossmann I提出,并用来求解混合整数非线 性规划(mixed-integer nonlinear programming, MINLP)问题,它属于确定性全局优化方 法。OAM求解大规模MINLP问题的基本思想是:将原复杂问题分解为相对简单的混合 整数线性规划(mixed-integer linear programming, MILP)主问题和非线性规划(nonlinear programming,NLP)子问题,然后对其进行逐次交替迭代求解。求解过程中可以得到一 系列原复杂问题最优值单调不减的下界和单调不增的上界,从而逐渐逼近原问题的最优 值,这也给OAM能在有限迭代次数内收敛到原复杂问题的最优解提供了一定的理论保 证。
最初的OAM[45]仅可求解只包含不等式约束,并且要求非线性约束在紧多面凸集上 均是凸函数的 MINLP 问题。文献[46-47]对 OAM 进行了改进,给出了结合松弛技术来 处理等式约束的OAM;文献[48]对OAM的理论分析进行改进,并将OAM推广到求解 更一般的混合整数凸规划情形;文献[49-50]则克服了较强的凸性假设,将OAM推广到 求解非凸的 MINLP 问题。下面结合电力系统机组组合问题本身的特点,以如下形式的 MINLP问题来简单介绍OAM的基本思想:
min cTy + f(x)
s.t. Ay + g(x) < 0
By + h(x) = 0
xEX (2.1)
yEY = {0,1}m
其中XUR"是包含变量上下界限制的多面集,并且f(x)和g(x)均为非线性函数,h(x)
8
为线性函数。引入辅助变量小将目标函数放到约束条件中,于是(2.1)等价于下述优化 问题:
min 耳
s.t. cTy + f(x) < 耳
Ay + g(x) < 0
By + h(x) = 0
x W X (2.2)
yeY = {0,1}m
由于后面讨论的机组组合问题数学模型中涉及到的函数均具有一定凸性,故不妨假 设(2.2)中f(x)与g(x)均为凸函数。根据凸函数的相关性质以及Taylor展开公式,对于 给定点(x,刃,可将(2.2)中前两组约束进行如下一阶Taylor展开:
cTy + f(x) + ^f(x)T(x — ^c)—^ <0 (2.3)
Ay + g(x) + ^g(}C)T(x — ^C) < 0 (2.4)
故对任意给定的线性化点集Q = {(^,^,—,(^,^)}来讲,利用凸性假设以及Taylor 展开可得到(2.2)所对应的MILP外逼近主问题OA(Q):
min 耳
s. t. cTy + f (兌把)+ Yf (免k)T(x —輕)—耳 < 0
OA(Q) Ay + g(免*) + Yg(^ck)T(x — xk} < 0
By + h(x) = 0
x WX (2.5)
y EY = {0,1}m
^(xk,yk^ E Q
求解上述主问题(2.5)可得出相应整数决策变量值j?W 7,从而可定义如下的NLP子 问题:
min cTy + f(x)
s.t. Ay + g(x) < 0
NLP(y) By + h(x) = 0 (2.6)
9
X GX
由于整数变量y的值已经固定下来,所以子问题NLPCy)不一定存在可行解,为此可构 造如下可行性子问题(2.7):
T
min se
s.t. Ay + g(x) < s
By + h(x) = 0
s>0 (2.7)
x GX
其中e = (1,^,1)T。显然可行性子问题(2.7)—定有解,且若其最优值为0,则子问题 NLP(y)具有可行解,否则NLP®)无可行解。
对于y GY,若子问题NLP(jz)可行,则求得其最优解x,且(x,y)为原问题(2.1)的 可行解;若子问题NLPCy)不可行,则可求得可行性子问题(2.7)的最优解伍,§),利用其 中的免以及相应的y组成点对(x,y).记所有点对(x,y)构成的集合为利用Q可形成 相应的MILP主问题。下面给出OAM的重要理论结果,即在一定的假设条件下,OA(O) 与原 MINLP 问题(2.1)具有相同的最优值。
定理2.1[51]假设MINLP问题(2.1)有最优解,且f(x),g(x)均为连续可微的凸函数, 子问题NLP(刃(2.6)和(2.7)满足一定的约束规格(如Slater约束、线性无关约束等),则由 集合豆中所有线性化点形成的MILP主问题OA(i!)和MINLP(2.1)具有相同的最优值。
外逼近法的具体算法步骤如下:
算法2.1
步骤0:求解MINLP(2.1)的连续松弛问题,将其最优解记为(x0,y0)a如果y° G {0,1}m,则(x°,y°)就是问题(2.1)最优解,停止计算;否则,选取初始上下界Zu = s,Zl = 一8,0 = {(x0,y0)},允许误差 £ > 0; k: = 0。
步骤1:如果Zy-ZL< 8或者2(Zu-Zl)/(IZuI + IZL\) < 则停止计算。
步骤2:利用O产生主问题OA(O)并求解,即求解MILP问题(2.5),将其最优解中 的整数变量值记为yk+1,以及MILP问题(2.5)的最优值记为Zl。
步骤3:利用yk+1生成NLP子问题(2.6)或(2.7),将最优解中对应于变量x的部分
10 记为xk+1,同时形成点对(xk+1,yk+1):如果子问题(2.6)可行,则令Zu = min{Zu,cTyk+1 + f(xk+1)};如果子问题(2.6)不可行,则求解(2.7)。
步骤4:更新线性化点集Q:令Q = Qu{(xk+1,yk+1)}, k: = k + 1,返回步骤1。
此处需要特别强调的一个问题是:算法2.1步骤2中的Q是Q的一个子集,故步骤 2中的MILP主问题是定理2.1中MILP主问题的松弛问题。
定理2.2[48]如果算法2.1中8 = 0,f(x),g(x)均为连续可微的凸函数,并且整数变 量值固定后的 NLP 子问题(2.6)和(2.7)满足一定的约束规格(如 Slater 约束、线性无关约 束等),则算法2.1在有限次迭代后终止于MINLP问题(2.1)的全局最优解。
2.2随机外逼近法
许多实际问题需要考虑约束条件成立的连续性,一种典型的处理方式就是将其表示 成无限多个约束,从而建立相应的半无限规划(semi-infinite programming, SIP)模型。由 于涉及到无数多个约束,比较难以处理,所以求解半无限规划模型的一个重要思路就是 将其转换为只含有限约束的非线性规划进行迭代求解。文献[52]结合积极搜索技术以增 加相关约束和去除不相关约束,提出求解半无限规划的随机外逼近法(stochastic outer approximation method,SOAM)。为了方便起见,下面主要以如下形式的半无限规划问题 为例介绍随机外逼近法的基本思想和算法的具体步骤:
Sip (P0): min f(x)
s.t. g(x,y) < 0, E Y0 (2.8)
x GX0
其中函数fQ)和g(\-)在X0X Y0的邻域上连续可微,X0 u Rk和Y0 uH均是凸紧的, 且站表示K维实空间。假设Slater约束成立,g(^,y)在X上对于任意y EY均满足一 定的凸性,并且存在x*EX,使得对任意yWY0满足g(x*,y) < 0o
由于问题Sip (P°)中Y°是一个无限集合,故(2.8)难以直接求解。文献[52]利用相关 技术产生有限点集Yn作为Y°的子集,从而可利用如下形式的一系列近似问题P(Yn)去 逼近原复杂问题Sip (P。)。
11
P(Yn): min f(x)
s.t. g(x,y) < 0, Py G Yn, lYnl < +8 (2.9)
x GX0
由于Yn是Y0的有限离散子集,并且在计算过程中可不断更新,从而通过求解相对简单 的非线性规划问题P(Yn)(n=1,2-,)可得到近似序列{0}。在一定条件{0}可以收敛 到原复杂问题Sip (P0)的最优解。
SOAM在求解半无限规划问题(2.8)时,通过增加相关约束和去除不相关约束来更新 有限子集沧:
(1)增加相关约束条件:获取y^,-,y^GY0,当x"不是如下问题Pn的最优解时
Pn: min f(x)
s.t. g(x,y) <0,PyG YnU {y1L,-,y^n}
记 Yn = Yn^{yi,-,ySn}^
(2) 去除不相关约束条件:从人中去掉一些点,得到子集△怡,使得
g(x,y) <0,Py g AYn
在xn处关于问题Pn是相关的,然后从{^Yi, i = 1,-,n}中去除一些集合后形成Yn+1, 即
^n+1 = U 应j ,Jn U {1, ,H}
JGJn 文献[52]介绍了几种搜索相关约束的具体方法及其基本步骤:
( 1 )主动搜索方法:
max g(xn, y)
s.t. y GY
对于当前迭代点Xn,求解上述内部最大化问题得到近似解玮(y^,-,y^n可能任意选取)。 ( 2)被动随机搜索方法:
步骤 0: i: = 0o
步骤 1: i:=i + 1o
12
步骤2:利用均匀概率分布在沧上确定:如果下述优化问题
min f(x)
s.t. g(x,y) <0,^y EYn\J {yi,-,yP}
的最优性条件在xn处不充分违背,则返回步骤1;否则进行步骤3o
步骤3:令 sn: = i, Yn: = {yi,^,ysn},并退出程序。
(3)主动随机搜索方法:
步骤 0: i:=0o
步骤 1: i:=i + 1o
步骤2:利用均匀概率分布在岭上确定*:从*开始应用局部下降技术获得内部 极大化问题的局部最大值点y^o如果优化问题
min f(x)
s.t. g(x,y) < 0, yyEYn\J {y^, …,yf, y^}
的最优性条件在xn处不充分违背,则返回步骤1;否则进行步骤3o
步骤 3:令 Sn: = i, Yn:=YnU {y^, y^* -,ysn,球f},并退出程序。
对于一般的非线性规划问题,可基于最优性条件定义相应的最优性函数,并利用其 定义相关算法的终止条件。类似地,SOAM中引入了相应的拟最优性函数。记M(Y°)为 Y° u Rm所有子集组成的集合,Mc(Y0),Mf(Y0)分别为集合Y°所有紧子集和所有有限 子集构成的集合,显然Mf(Y0) uMc(Y0) uM(Y0)o SOAM定义如下拟最优性函数: e(・,・):X0 X MC(Y0) T R+ (2.10)
对于任意紧集Y u Y0和xeX0,利用拟最优性函数Q(x,Y)值可估测x作为问题P(Y) 局部近似解的质量。特别地,当%为相关问题的最优解时,可得拟最优性函数值为0, 即
x E XOpt a Q(x, Y°) = 0 (2.11)
于是可利用下述式(2.12)作为求解问题P(Y)有效局部下降的停止准则,
Q(x,Y) < £ (2.12)
当|Y|比较小时,即使是对于较小的£>0,我们仍可有效求解(2.12)。接下来我们定义 问题P(Y)的拟最优性函数集如下:
13
Xqopt[Y] = {XG X°|8(x, Y) = 0}, Y G MC(Y0)
显然XoptuXqopt[Y0],基于拟最优性函数以及主动随机搜索方法,可得如下主动搜索随 机算法:
算法 2.2[52]: SPROC.ACTIV
输入:xGX, Y GMf(Y0).
输出:BGR1, S G N+,应 G Mf^0), Y G Mf^0)a
参数:S > 0o
步骤 0: i:= 1, %:= Yo
步骤1(ACTIV):在Y中利用均匀概率分布确定点%,从点%开始应用局部搜索算 法找到点yl = yl(x, Yi, yi),将y;纳入%中。
步骤 2: 令 di = Q(x,Yi)o
步骤3:如果则令i: = i + 1并返回步骤1o
步骤 4:令 9:= 9i, S: = i, ^Y: = {yt, y;}, Y: = %,并退出程序。
利用算法2.2可产生有限点集Yn, SOAM就是基于Y = Yn,s = sn并利用(2.12)构建 算法,其中{Yn}为Y0的一系列有限子集,sn(n = 1,2, — ,)为相应终止参数序列,且满 足单调不增并收敛到0。基于以上介绍,下面给出SOAM的具体算法步骤:
算法 2.3[52]: SMETH.ACTIV
数据:X1 GX。
参数:序列{%},{6“}满足 ^n,^n > 0,n = 1,2,—, ^n, On\0o
步骤 0:令 n:= 1, Y1: = 0o
步骤 1:输入 xn GX, YnG mf(Y0),调用算法 SPROC.ACTIV,输出 en,Sn,^Yn,Yno
步骤 2:形成新的约束集:
Yn+i: = ^YnU J △舟
1<j<n-1
步骤3:求解问题P(Yn+i)可得xn+1 G X,使其满足d(xn+1,Yn+i) < %+i°
步骤4:令n: = n+ 1,返回步骤1 o
结论:在一定条件下,由SMETH.ACTIV产生的序列{xn}收敛于Xqopt[Y0]o
14
2.3小结
本章主要介绍了两种数学优化方法即外逼近法与随机外逼近法的基本原理与具体 算法步骤。
外逼近法可将大规模复杂问题分解为相对简单的主问题和子问题进行交替迭代求 解,求解过程中通过不断修正原复杂问题目标函数值的上下界,最终达到求解原复杂问 题的目的。而随机外逼近法可有效求解半无限规划问题,其借助于相关技术可产生一系 列有限点集,从而将半无限规划问题转化为具有有限约束的数学规划问题来进行求解。 这些方法和结论为本文后续章节的顺利开展提供了强有力的理论支撑。
15
第 3 章 计及弃风和污染物排放机组组合问题的外逼近法
3.1引言
机组组合(unit commitment,UC)是电力系统中一类比较重要的优化运行问题,其主 要目标是在满足负荷需求和备用要求以及机组自身物理约束条件等前提下,系统在计划 时间范围内的总运行费用达到最小值。近年来,随着我国工业技术的快速发展,电力需 求增速非常明显,由于我国目前 60%以上的电力仍就是以消耗煤、天然气等一次性能源 所产生的火电,随着节能减排政策的实施,以风能为代表的清洁可再生能源得到越来越 多的重视。由于风力发电具有较强的随机性,再加上当前技术方面的限制,风力发电功 率存在一定的预测误差。由于电能不能大量储存的原因,电力系统在实际运行过程中常 常会伴有一定的弃风现象,这就限制了电力系统对风电的充分利用,导致我国弃风现象 比较严重。
本章主要讨论计及弃风和污染物排放的UC问题:首先,借助于线性化技术建立相 关问题的MIQP模型;然后利用外逼近法去求解MIQP模型,即将原复杂的MIQP模型 分解为相对简单的MILP主问题和NLP子问题进行交替迭代求解;最后,在10〜100台 火电机组和1个风电机组等6个系统上进行数值仿真,实验结果表明本章所提UC模型 具有一定的实用性,并且OAM在求解相关模型时是非常有效的。
3.2计及弃风和污染物排放机组组合问题的数学模型
3.2.1 相关符号说明
为了方便起见,我们为本章及后续章节所讨论数学模型中相关符号进行统一说明。
i :表示火电机组编号,i = 1,2,・“,N。
t :表示时段编号,t = 1,2, ^,To
N :表示火电机组总数。
16
 
T :表示时段数。
:表示火电机组i的热启动费用。
Ccold,i :表示火电机组i的冷启动费用。
Ti.t :表示火电机组i在第t时段已经连续运行时间(为正值)或者连续停机 时间(为负值)。
h)n,i :表示火电机组i的最小运行时间。
Tioff.i :表示火电机组i的最小停机时间。
Trold,i :表示火电机组i的冷启动时间。
:表示火电机组i有功出力的最大值。
:表示火电机组i有功出力的最小值。
PD,t :表示第t时段的系统总负荷需求。
Rt :表示第t时段系统的总备用量。
Pwc :表示风电机组的单位弃风费用。
max
rw,t :表示风电机组在第t时段的最大发电量。
Pup,i :表示火电机组i的功率上升速度限制。
Pdown,i :表示火电机组i的功率下降速度限制。
Pstart,i :表示火电机组i的启动功率速度限制。
Pshut,i :表示火电机组i的停机功率速度限制。
^i,Pi,Yi :表示火电机组i生产成本二次函数的系数。
^i, bj, C[ :表示火电机组i的污染物排放成本参数。
 
17
 
ui,t :表示火电机组i在第t时段的运行状态,为0-1变量;ui t = 1表示火
电机组i在第t时段处于运行状态,uiit = 0表示火电机组i在第t时 段处于停机状态。
Si-{ :表示火电机组i在第t时段的启动情况,属于0-1变量(如果火电机组
i在第t时段启动则等于1,否则等于0)o
九 :表示火电机组i在第t时段的停机情况,属于0-1变量(如果火电机组
i在第t时段关闭则等于1,否则等于0)o
Pi’t :表示火电机组i在第t时段的实际有功出力,是连续型变量。
Si,t :表示火电机组i在第t时段的启动费用,是连续型变量。
Pwc,t :表示风电机组在第t时段的弃风量,为连续型变量。
3.2.2计及弃风和污染物排放机组组合问题的MIQP模型
计及弃风和污染物排放UC要解决的问题是:如何确定火电机组的启停计划以及火 电机组与风电机组的具体出力情况,使系统在一个调度期间内总成本最小。总成本主要
包括三个部分,即火电机组的运行成本Tc、火电机组的污染物排放成本Ec和风电机组 的弃风成本Fwc,问题的目标函数为各成本的加权和最小,即
 
^wc = Pwc》!=1 Pwc,t (3.4)
其中叭为火电机组i污染物排放的惩罚因子;Cix为火电机组i在第t时段的启动费用, 通常情况下根据停机时间的长短可将其分为热启动与热启动两种情形,并用如下分段函 数来表示:
18
 
Chot,i: — —Tl,t — + Tcold,i
l,t Ccoigi: — Ti,t > i + Tcoid,i
对于式(3.2)中的启动费用项Uiit(1 - uiit-i)Ciit,它是非线性的并且依赖于二进制变 量uiit,一种处理方式是先暂时不考虑启动费用项,等各机组在各个时段的启停状态确 定后再返回来计算相应的启动费用。本章我们借助文献[53]中的技术对启动费用项进行 处理,令S" = ui:t(1 - ui:t-i)Ci:t,然后利用如下线性阶梯函数将其近似转化并放到约束
条件中:
Vi,t > 0,i = 1,…,N;t = 1, — ,T;t = 1,…,Nd]
其中NDii为给定参数,系数%则由如下分段函数表示:
Chot,i: T = 1 …,+ Tcold,l
Ccoldj: T = Tjoff.i + Tcold,l+1,…,Nd,1
计及弃风和污染物排放 UC 问题所考虑的其他约束条件如下:
1)功率平衡约束:指在每个时段内,系统总输出必须等于总负荷需求,即
N max _
乙 i=1「i,t + rw,t — rwc,t = rD,t
2)旋转备用约束:当前开机的火电机组与风电机组能够提供的最大出力总和必须超
过实际负荷,即必须留有一定的备用电量用来保障电能质量和系统安全运行(若负荷突
然增加,发电机组合也能够提供足够的电能),可用下述不等式表示:
£=i%p + p就严 n PD,t + Rt (3.7)
(3)火电机组出力上下界约束:火电机组i在第t时段的出力具有一定的范围,即
a』—pi,t — %凤 (3.8)
4)爬坡约束:相邻时段火电机组有功出力能增加或减少的速率限制,即
孤-— +(也-吋』Pstart,i + (1 —
Fi,t-1 — Pi,t — ^i.t^down.i + (^i.t-1 —ui.t) Pshut,i + (1 — ui.t-1)Pi
5)最小启停时间约束:机组不能频繁开停机,必须运行(停机)一段时间后才能停机(开
机),常用下述非线性不等式组来表示:
((ui.t-1 - Ui.t)(Ti.t-i - n 0
{(ui.t - Ui.t-1)(-Ti.t-1 - n 0
19
(6)弃风约束:
0 < PWCit < P^x (3.11)
对于非线性最小启停时间约束(3.10),类似于文献[54],引入另外两组 {0,1} 变量以 及状态约束,将启动、关机和状态变量联系起来,并对其进行线性化处理,具体表达式 如下:
r^w=[t-Ton^ 伽 < 叫 tG[Ut + 1, — , T]
< ^^-Toff.r 如 < 1 -叫 tG[Li + 1,-,T] (3.12)
ui,t - ui,t-1 = si,t - di,t, t G [2, — ,T]
{Ui t = ui o, t G [1, —, Ui + Lj]
其中 Ui = max{0,min[T,Ui,o(Qn,i - 心。)]}, 0 = max{0,min[T,uiio(T1)ffii + Ti0)]}o 为了更加直观地理解相关 UC 模型,特别是火电机组部分,接下来我们给出单个时 段内只包含三个火电机组的系统作为示例。三个火电机组分别用Gi,G2,G3表示,其出力 范围分别为 P1 G 0 U [150. 600]MW, P2G0U [100、400]MW, P3 G 0 U [50、200]MW, 该时段系统总负荷Pd为550MWo此外,三个火电机组的运行成本分别为:
F1 = (561 + 792P1 + 0.001562P2)$,
F2 = (310 + 7.85P2 + 0.00194P2)$,
F3 = (93.6 + 9.564 P3 + 0.005784P32)$,
在下述表 3-1 中,我们举例说明了三个火电机组具体的几种启停状态、实际输出功率、 运行成本以及系统总发电成本。在火电机组的几种运行情况中,显然第二种情形所对应 的系统发电总成本最低。从理论上讲,由于ui:t,si:t,di:tG{0,1},可列举所有可能,并验 证约束是否成立,从而计算相应的总费用,同时选取最小费用所对应的机组运行方案。 然而由于模型中的约束和变量数都非常多,完全枚举的方式并不实用,因此如何快速有 效求解相关模型成为研究重点。
20
 
表 3-1 三个火电机组的例子
Table 3-1 Example of three thermal units
Gi G2 G3 Pi P2 P3 Fi F2 F3 总成本
0 1 1 0 400 150 0 3760 1658 5418
1 0 0 550 0 0 5389 0 0 5389
1 0 1 500 0 50 4911 0 586 5497
1 1 0 295 255 0 3030 2440 0 5470
1 1 1 267 233 50 2787 2244 586 5617
 
基于上述分析,为方便起见不妨假设(3.1)中的权重系数Wt = We = 1,从而计及弃 风和污染物排放 UC 问题可表述为如下 MIQP 模型:
min aTu + pTP + pTPwc + Vs + ^Td+eTS + g(P)
s.t. Auu + APP + APwcPwc + Ass + Add + AsS < auc
^pP + ^Pwc^wc = ^uc u,s,d G {0,1}n, P, PWC,S > 0
上述 MIQP 模型中 n = N XT,U = (uit), P = (Pit), Pwc = (Pwc,t),s = (siit), d = (diit),S = (Si t)为相应变量组成的向量,Au, AP, APwc, As,Ad,As,A'P, A'Pwc为相应变量前 面的系数组成的系数矩阵,auc,buc表示右端的常数向量,且
T N
g(P) = ^^(71+€^)2
t=11=1
上述模型(3.13)中的变量总数为6N X T,除变量非负外的其他约束总数为3T + 6NXT,因此(3.13)是一个大规模的MIQP模型,一般的数学优化方法并不能将其快速 有效求解,本章利用OAM将这个复杂的大规模MIQP模型进行分解迭代求解。
21
 
3.3计及弃风和污染物排放机组组合模型的外逼近法
由于本章讨论的计及弃风和污染物排放UC问题中连续变量均是非负的,其前面的
参数也是非负的,故可通过引入辅助变量小仅将目标函数中的非线性项g(P)引入到约
束中,于是MIQP模型(3.13)等价于如下MINLP问题:
min aTu + pTP^pTPwc+8Ts + pTd^eTS + 耳
s.t. Auu + APP + APwcPwc + Ass + Add + AsS — auc
^pP + ^Pwc^wc = ^uc g(P)—耳 u,s,dE {0,1}n, P, PWC,S,^ > 0
下面利用 OAM 来分解替代求解上述 MINLP 问题。根据第二章基础知识外逼近方 法可知,对于给定的线性化点集^ = {P1,-,Pm}来讲,利用一阶Taylor展开可得到(3.14) 所对应的 MILP 主问题如下:
min aTu + pTP+pTPwc+8Ts + pJd+eTS + 耳
s.t. Auu + APP + APwcPwc + Ass + Add + AsS — auc
^pP + ^Pwc^wc = ^uc
T
g(pj) + Vg(pj) (P-pj)—n,j = 1,-,m (3.15)
u,s,dE {0,1}n, P, Pwc,S,!j > 0
设求解MILP(3.15)所得到的整数向量值为(uk+1,sk+1,dk+1),固定整数决策变量值, 形成下述NLP子问题(3.16):
min aTuk+1 + pTP+卩丁仏+6&“+1 + p.Tdk+1 + eTs + 耳
s.t. Auuk+1 + APP + APwcPwc + Assk+1 + Addk+1 + 4sS — auc
A'pP + A'PwcPwc = buc (3.16)
g(P)—耳
由于NLP子问题(3.16)不一定存在可行解,故可构造如下可行性子问题(3.17):
22
 
min (
s. t. Auuk+i + ApP + APwcPwc + Assk+i + Addk+i + 4sS < auc
^pP + ^Pwc^wc = ^uc g(P) -v <Z
Z>0
基于以上介绍,下面给出OAM求解计及弃风和污染物排放UC问题的算法步骤:
步骤0 :求解MINLP问题(3.14)的连续松弛问题,并将其解记%0 = (u0,P0,Pwc0,s0,d0,-no)o如果解X。中向量(u0,s0,d0)为整数,则%0就是(3.14)的最优解, 停止计算;否则,选取Zy = ^,ZL = -^,£> 0,并令^ = {PO},k:=0o
步骤1:如果Zy-ZL< 8或者2(Zu-Zl)/(IZuI + IZL\) < 则停止计算。
步骤2:利用0产生MILP主问题(3.15)并求解,将其最优解中整数变量值记为 (uk+i,sk+i,dk+i),以及 MILP(3.15)的最优值记为 Zlo
步骤3:利用(uk+i,sk+i,dk+i)生成NLP子问题(3.16)或(3.17),如果子问题(3.16) 可行,将其最优解记为(P"+i,仏"+1川+1,泸+1),则相应的最优值为% = min{Zg, aTuk+i + pTpk+i + pTPwck+i+8Tsk+i + pTdk+i + eTSk+i + 泸+1};如果子问题
(3.16)不可行,则求解(3.17)可得到相应连续变量值(Pk+i, Pwck+i,Sk+i,严1, Zk+i)o
步骤4:更新线性化点集0:令O = Ou{P"+i}, k: = k + 1,返回步骤1o
3.4数值仿真结果及分析
本小节主要进行数值仿真及结果分析,运行环境为 Intel i5-7200U 2.7 GHz, 8GB RAM的Lenovo-PC,并在MATLAB R2018a环境下调用商业求解器CPLEX11[55]来求解 MILP主问题和NLP子问题。
为了验证本章所提计及弃风和污染物排放 UC 问题 MIQP 模型的实用性以及 OAM 求解相应问题的有效性,我们利用 10~100 台火电机组和 1 个风电机组等六个系统在 24 个时段上进行数值仿真测验,其中 10 台火电机组 24 时段的系统数据来源于文献[56], 由火电机组引起污染物排放的系统参数取自文献[57], 20、 40、 60、 80、 100 台火电机组
23
24 时段的数据则通过复制 10 台火电机组的相关数据而得到,系统总负荷则根据系统实 际规模大小的倍数关系进行相应地扩大,系统总的备用量选取为系统总负荷的 10%,即 Rt = 10°%PD,t。1个风电机组在24时段中的最大发电量来源于文献[58],且单位弃风费 用pwc = 100$/MW.权重因子Wt = We = 1,污染物排放的惩罚因子百=1$(Ton)(i = 1,2,…,N)。在整个计算过程中,我们将OAM的允许误差设置为8 = 0.1%.
为了更加详细地说明本章所提计及弃风和污染物排放 UC 问题 MIQP 模型的实用 性,我们将是否考虑风力发电两种情况下的系统总成本进行了对比,并将商业求解器 CPLEX11 的求解精度分别设置为0.03 和 0.05,详细对比结果如表3-2所示。从表3-2我 们可以看出,风电作为一种可再生的清洁能源加入电力系统可有效降低系统的总成本, 进一步也说明了本章所提模型是合理的。
表 3-2 两种情况下的系统总成本对比 ($)
Table 3-2 The total operating cost of the system in two cases ($)
机组数 精度为0.05 精度为 0.03
考虑风电 不考虑风电 考虑风电 不考虑风电
10 772385 838409 788201 808771
20 1589870 1663779 1536876 1584516
40 3186766 3298358 3186766 3226625
60 5011717 5017922 4746734 4861086
80 6674541 6692586 6409060 6448275
100 8351644 8362551 8066828 8106459
 
由图3-1可以看出,随着机组数的增加,OAM的计算时间要比CPLEX少,问题规 模越大,优势越明显,故OAM更适用于去求解大规模的UC问题。由表3-3可以看出, 利用OAM与CPLEX分别去求解MIQP模型时,前者的系统总成本均低于后者。这说 明应用OAM求解计及弃风和污染物排放UC问题时,所有测试系统均获得了较好的次
24
 
优解,其主要原因在于松弛问题的主问题MILP(3.15)可以更好地近似问题(3.14)。另外,
OAM通过交替迭代求解NLP(3.16)或(3.17 )和MILP(3.15)得到问题(3.14)最优值比较好的 上下界,进而提高了 OAM的计算效率。
 
 
图 3-1 OAM 与 CPLEX 计算时间的对比
Figure 3-1 Calculation time comparison of OAM and CPLEX
表 3-3 两种算法系统总成本对比 ($)
Table 3-3 Total operation cost comparison of OAM and CPLEX ($)
10 20 40 60 80 100
OAM 772385 1589870 3186766 5011717 6674541 8351644
CPLEX 788539 1596907 3189870 5025949 6709200 8393972
 
为了进一步说明OAM求解相关问题的有效性和本章所提模型的实用性,表3-4给 出了同时考虑弃风和污染物排放、只考虑弃风以及只考虑污染物排放三种情形下的系统 总成本对比结果。由表 3-4 可见,同时考虑弃风和污染物排放的系统总成本是最低的, 因此,本章所提计及弃风和污染物排放UC问题在电力系统实际应用中具有更好的经济
25
 
效益。
表 3-4 三种情形的系统总成本对比 ($)
Table 3-4 Comparison total operation cost of three situation ($)
机组数 考虑弃风和污
染物排放 只考虑弃风 只考虑污染物
排放
10 772385 789549 793467
20 1589870 1596910 1650468
40 3186766 3189860 3245780
60 5011717 5015879 5134660
80 6674541 6725780 6878905
100 8351644 8493672 8656076
 
表 3-5 给出了 10 台火电机组在 24 时段内每台机组的具体出力值和污染物的排放 量。从表3-5可以清楚地看出,10台火电机组在24时段内的污染物排放总量为 131,261(Ton),污染物排放成本为131,261 $°由此可见,污染物排放成本不容忽视,特 别是在当今提倡绿色无污染、低碳环保的形势下,非常有必要在电力系统优化运行中考 虑加入更多的绿色可再生能源发电,如结合太阳能发电等,进而研究相应的机组组合问 题。
26
 
表 3-5 10 台火电机组 24 时段系统调度计划及污染物排放量
Table 3-5 The unit scheduling and pollutant emission for the 10-thermal units 24 hours
机组数
时段数 污染
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物排
放量
1 228 228 25 29 40 20 25 10 10 10 4352
2 189 173 57 55 66 36 25 21 21 20 3326
3 187 171 90 81 92 52 25 32 23 18 3491
4 195 180 96 107 118 68 25 41 29 24 3879
5 198 183 97 121 130 80 26 43 32 27 4204
6 218 202 108 130 130 80 39 54 43 38 4615
7 223 208 112 126 130 80 43 44 44 42 4712
8 249 234 127 104 123 64 60 44 44 44 5141
9 299 283 130 104 104 64 68 44 44 44 6536
10 338 323 130 107 130 77 68 44 44 44 8028
11 364 358 130 104 124 64 68 42 42 42 9006
12 389 374 162 130 130 80 85 31 31 31 10482
13 363 348 162 130 130 80 84 20 20 20 9499
14 347 332 162 130 130 80 67 0 0 0 7985
15 306 291 159 130 130 80 50 0 0 0 6547
16 271 256 140 130 130 80 0 0 0 0 5096
17 271 255 130 111 130 69 0 0 0 0 4821
18 309 294 130 106 130 64 0 0 0 0 5872
19 364 364 130 104 104 64 0 0 0 0 7939
20 362 346 162 130 130 80 50 0 0 0 9348
21 283 361 162 130 130 80 61 20 20 20 7449
22 192 364 130 104 104 64 44 0 0 0 5745
23 0 339 162 130 130 80 0 0 0 0 4947
24 0 254 139 130 130 80 0 0 0 0 3389
 
表3-6详细给出了含风电UC模型在考虑弃风和不考虑弃风两种情况下的对比结果, 主要包括系统总运行成本($)、污染物排放量(t)以及风电利用率(%)。从表3-6中可以看 出,含风电 UC 模型在考虑弃风后,风电的利用率会大幅度提高,污染物的排放量与系 统总成本反而会大幅度降低。因此,本章研究计及弃风和污染物排放的UC问题在电力 系统实际应用中具有较好的经济效益与实用价值。
27
 
表 3-6 系统总运行成本、污染物排放量及风电利用率
Table 3-6 System operating cost, pollutant emission, wind power utilization
模式 系统总成本 /$ 污染物排放量/t 风电利用率/%
考虑弃风 772385 131261 82.43
不考虑弃风 838409 148976 64.45
 
本章在研究计及弃风和污染物排放的 UC 模型时,将风电机组的弃风量作为一个连 续变量进行考虑,并在系统总运行成本中考虑弃风成本。为了更加清楚地说明考虑弃风 对研究整个系统的必要性,我们详细对比了考虑弃风和不考虑弃风两种情况下 24 时段 内的风电利用率,见图3-2o根据折线图3-2可知,在含风电UC模型中考虑弃风时的风 电利用率要明显高于不考虑弃风时的风电利用率。
 
图 3-2 风电利用率的对比结果
Figure 3-2 Wind power utilization rate comparison
28
3.5小结
本章提出了求解计及弃风和污染物排放UC问题的OAMo首先通过利用一定的线 性化方法建立了计及弃风和污染物排放UC问题的MIQP模型,然后利用OAM去求解。 OAM将复杂的MIQP问题分解为相对简单的MILP主问题和NLP子问题,并通过有限 次交替求解来得到原复杂问题的满意解。求解过程中原复杂问题最优值的上下界可以得 到比较好的校正,从而OAM有比较好的求解效率。10〜100台火电机组加1个风电机组 等六个系统在 24 个时段上的数值仿真结果表明,本章所考虑的模型可有效减少污染物 排放量和系统总的运行成本,同时提高风电利用率。因此本章考虑计及弃风和污染物排 放UC问题模型具有一定实用性和经济性,同时OAM具有较好的计算效率,适用于解 决大规模的UC问题。
29
第 4 章 含风电机组组合问题的随机外逼近法
4.1 引言
在全球气候日益恶化以及大力提倡节能减排的方针政策下,我国现代电力系统中并 入了大规模的风电。众所周知,风电机组的实时输出功率与风速有密切联系,由于技术 方面的限制,风电场在不同时间尺度下的风电功率预测值存在很大的不确定性,特别是 对于中长期的预测而言。本文第三章主要通过增加一定备用容量来应对风电的预测误差, 建立了计及弃风和污染物排放的确定性机组组合模型,这个模型相对比较简单且容易求 解,但合适备用电量的确定是一大难点,不合适的备用电量会给整个电力系统运行的经 济性和安全性带来较大的影响。
本章主要讨论将风力发电看作随机变量的机组组合问题:首先,给出含风电机组组 合问题中风电功率的不确定性建模,即利用蒙特卡洛法对历史数据进行随机抽样,进而 产生一系列风电功率样本点,并借助K-means聚类算法将其简化为几类具有一定概率发 生的典型性场景;然后将含随机变量风力发电的UC问题建模为一个混合整数半无限规 划(mixed-integer semi-infinite programming , MISIP)模型;最后利用 随机外逼近法 (stochastic outer approximations method, SOAM)去求解 MISIP 模型,同时进行数值仿真 以验证模型的合理性与所提方法的有效性。
4.2风电功率的不确定性建模
现有各种预测、处理风电功率的技术仅对于短期与超短期的功率预测来说是比较精 确的,但对中长期而言则无法准确获得电力系统实时调度所需要的风电功率。本章我们 借助于历史数据,并统计其满足的概率分布,通过蒙特卡洛法抽样模拟生成风速或风电 功率的代表场景,其一般过程如图 4-1 所示:
30
 
 
 
图 4-1 模拟风速或风电功率方法框图
Figure 4-1 Block diagram of the method for simulating wind speed or wind power
显然,风电出力Pw与风速V有关,受风速随机大小的影响及风电机组自身物理条 件的限制,风电机组的最小出力为0o当风速达到一定值时,风电机组可达到最大出力, 其具体关系如图 4-2 所示:
 
Figure 4-2 Relationship between wind power output Pw and wind speed V
 
其中vin,%t分别代表风电机组的切入风速与切出风速,岭表示风电机组的额定风速, Vb表示风电机组在各个时段的实际风速,Pe表示风电机组的最大发电能力值。由图4-2 可知,在风机组出力达到最大发电能力值前,风电机组实际出力随风速的增加而逐渐增 加;当风电机组出力达到最大发电能力值时,风电机组出力将不随风速的变化而改变。 风力发电机组的实际发电值,即实际输出功率Pw 一般按照如下公式进行计算:
Pw = Nw x Et=i^^(^t) x t (4」)
31 其中T为时段总数,t = 1,2,…,T为时段编号,Nw表示风电机组数。
由于风电功率的历史数据一般不符合我们常见的概率分布,因此为了得到接近实际 的风电功率场景,我们可利用风速满足的概率分布来得到风电功率的一些模拟场景。根 据相关研究表明,目前大部分地区风电场的风速满足威布尔分布[59-62],故本章假设风速 服从威布尔分布,其具体数学计算公式为:
F(V) = (2^^)exp[-(^)2] (4.2)
其中C表示威布尔尺度,V表示风速。利用式(4.2)的反函数以及蒙特卡洛法[63-65]可以进 行随机抽样模拟,如利用蒙特卡洛法在区间 [0,1] 内进行随机抽样产生 1000 个样本点, 得到风速抽样模拟的结果见图(a),将其代入风电实际输出功率Pw与风速V的计算公 式后便可得到如图(b)所示的风电功率样本点。
 
 
图 4-3 风速和风电功率随机样本点
Figure 4-3 Wind speed and wind power random sample points
本章首先利用蒙特卡洛法随机抽样产生风电功率的一系列样本点,并借助 K-means 聚类算法[66]将所得到的风电功率样本点简化为几类具有一定概率发生的代表性场景。以 德克萨斯州的两个相邻风电场(W1、W2)[67]为例进行说明,下表4-1详细给出了两个风 电场的地理信息,包括所处位置、海拔高度(m)、风密度(W/m2)、风速(m/s)以及容量大小 (MW)等。
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表 4-1 风电场 W1、 W2 的基本地理信息
Table 4-1 Basic geographical information of wind farms W1 and W2
风电场 位置 海拔/m 风密度
/(W/m2) 风速(m/s) 容量/(MW)
W1 31.19N,102.24W 850 401.3 7.6 30.0
W2 31.19N,102.21W 874 419 7.8 31.3
 
类似于前面的介绍,首先利用蒙特卡洛法随机产生 1000 个风电功率样本点,然后 利用K-means聚类算法将其分为6类,将各类样本的均值作为各个场景的中心,并统计 该类中的样本点数占总样本数的比例,将其设定为各类样本出现的概率,从而生成如表 4-2 所示的 6 个主要场景,以及各场景下两个风电场的风功率的具体情况和各个场景发 生的概率。
表 4-2 生成 6 个场景中的风电功率
Table 4-2 Generating wind power in six scenes
风功率 场景1 场景2 场景3 场景4 场景5 场景6
W1 15.00 35.25 50.21 65.23 70.26 75.62
W2 16.20 38.52 51.22 67.14 72.52 77.45
概率 0.1671 0.1660 0.1641 0.1680 0.1653 0.1695
 
由表 4-2 可以清楚地看出,通过利用 K-means 聚类算法得到 W1、W2 风功率对应下的 各个场景,其概率值差异较小,整体上比较均匀,这也进一步说明本章对风电功率不确 定性处理方法的合理性。
4.3含风电机组组合问题的混合整数半无限规划模型
第三章已经详细介绍了计及弃风和污染物排放 UC 问题的相关模型以及符号说明,
33
此处不再赘述。为了论文的完整性和阅读的方便性起见,现将含风电UC问题的数学模 型做如下简单介绍。
本章继续考虑含N个火电机组和一个风电机组的UC问题。由于风力发电的强随机 性,我们在4.2节中通过对风电功率的不确定性建模,即借助于蒙特卡洛和K-means聚 类算法得到的风电功率场景比较接近实际情况,故整个电力系统对风电的利用比较充分, 相应的弃风量可忽略不计。因此目标函数则是让火电机组的运行成本Tc和污染物排放 成本Ec的加权和最小,即
minF = WtTc + WeEc (4.3)
上式(4.3)中的Wt和We为权重系数,各成本Tc与Ec的具体表达式如下:
Tc = St=iSi=i[ ag’t + 0jPi,t + Yi(Pi,t)2+Si,t] (4.4)
Ec =旻 =1 Ei=i 百[aiUi,t + 研讥 + ci(Pi,t)2] (4.5)
其中Siit为火电机组i在第t时段的启动费用,叭为火电机组i污染物排放的惩罚因子。
含风电 UC 问题的约束条件如下:
( 1)系统功率平衡约束:
君 =i%+P£,t = PD,t (4.6)
其中P^.t表示第t时段风电机组的实际输电量,由于风电的强随机性,故它是随机变量。
(2)系统旋转备用约束:
HiUt,tPi+P^x>PDit + Rt (4.7)
其中P曙表示第t时段风电的最大出力,可结合历史数据以及模拟场景方法得出其具 体数值。
(3)火电机组出力上下界约束:
%t匕 S pi,t < (4.8)
(4)火电机组爬坡约束:
{Pi,t - %-1 - Uit-lPuP,i + 皿-["Si + (1-曲— (4.9)
P「t-1 — Pi,t — W.tPdown) + (^i.t-1 —ui.t) Pshut,i + (1 —
34
5)火电机组线性近似化的最小启停时间约束:
^^=[t-Lon,i]+ 伽-巩t,t^[Ui + 1,-, T]
< ^^li-Loff,^ 咖-1 -叫 tE[Li + 1,-, T]
ui,t - ui,t-1 = si,t - di,t, t E [2, —,T]
{^■i,t = ^1,0, t E [1, , U[ + Lj]
其中 Ut = max{0, min[r,uiio(Ti}ni - E,。)]}, Lt = max{0, min[T,ui,o(Ti}ffii + Ti,o)]}o
(6)火电机组启动费用的近似线性化约束:
\^i,t — ^i,T[ui.t — ^j=i ui.t-j] \sit — 0,i = 1, — ,N;t = 1, — ,T;t = 1,…,Nd)
由上述介绍可知,含风电UC问题的数学模型中含有随机变量Pg,t。基于历史数据, 借助于蒙特卡洛随机抽样和K-means聚类算法可生成风电出力的一些代表性场景,并得 到相应时段风电机组出力的上下限PfP罂o为了方便起见,我们假设(4.3)中的权重 因子为Wt = We = 1,因此可将含N个火电机组和一个风电机组的UC问题表述为如下 混合整数半无限规划(MISIP)模型:
T N
MISIP P(Y0): min ^^[(ai + 珀皿 + (伤 + 陀孤 + (Yi + Ci)(Piit)2 + %]
t=1 1=1
s.t. £=iPi,t+Pg,t = PDlt, V Pg,t EY0 = [P^n,p^x] (4.12)
(4.7) - (4.11)
4.4 求解混合整数半无限规划模型的随机外逼近法
由于Pg,t的强随机性和不确定性导致上述问题MISIP P(Y0)存在无限多约束的困难, 故(4.12)难以直接求解。在本章4.2 节中通过相应技术已经得到几类具有代表意义的典型 场景,可将其用有限集合Yn,n= 1,2,-,6来表示,因此可利用如下近似问题P(Yn)去逼 近问题 MISIP P(Y0)o
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T N
P(Yn): min》》[G + ai)ui,t + (血 + bi)Pi,t + (yt + ci)(Pi,t)2 +
t=1 1=1
s-t-》Y=iPi,t + Pg,t = Pdq 7 P^,t ^Yn,n = 1,2, ,6 (4.13)
(4.7) - (4.11)
为了方便叙述,我们将问题P(Yn)中所有连续变量和整数变量形成的向量用x来表 示,随机变量Pg,t形成的向量用y来表示。由于Yn是Y0的有限离散子集,并且在计算 过程中可不断更新,从而通过求解简单问题P(Yn)(n = 1,2^,6)可得到近似序列{%"}, 且在一定条件下它可以收敛到原MISIP问题P(Y0)的最优解。
对于任意紧集Yn^Y0和% eX0,利用拟最优性函数Q(x,Yn)可估测x作为问题 ?(¥.^局部近似解的质量。类似于文献[68],我们用如下拟最优性函数e(x,Yn)<sn作 为求解P(Yn)有效局部下降技术的终止准则:
Q(x,Yn) = max(f(x) - min f(x), maxyeYng(x,y)) (4.14)
其中g(x,y)表示问题P(Yn)中的所有约束条件,且必|比较小,故我们可有效求解(4.14), 接下来定义问题P(Yn)的拟最优性函数集如下:
Xqopt[Yn] = {x e X0IQ(x,Yn) = 0}, Yn e MC(Y0) (4.15)
其中MC(Y0)表示集合Y°的所有紧子集构成的集合。基于拟最优性函数(4.14)和第二章 2.2节中介绍的主动随机搜索方法,可得出如下主动随机搜索方法:
算法 4.1: SPROC.ACTIV. MISIP
输入:x ex0, YneMf(Y0).
输出:0 e R1, Sn e N+,应 e Mf^0), Yn e Mf(f0).
参数:S > 0o
步骤 0: i:= 1, Y1:=Yno
步骤1(ACTIV):在Yn中利用均匀概率分布确定点yf,从点yP开始应用局部搜索 算法求解问题maXye冷g(x,y),得到点e Yn且满足g(x,y^) — g(x,yf'*}时,将yf'* 也纳入Yn中。
步骤 2: 令 砒=max(g(x,y1"*), —,g(x,yf,*))o
36
步骤3:如果ie^ < 3,则令i: = i + 1并返回步骤1o
步骤 4: en-.=號,Sn: = i, ^Y: = {yP,y^}, ^: = ^^ {y^*},并退出程序。
基于以上介绍,下面给出SOAM求解MISIP模型的具体算法步骤:
算法 4.2: SMETH.ACTIV.MISIP
数据:X1 EX°。
参数:序列{%},{6“}满足 ^n,^n > 0,n = 1,2,—, 8n, On \ 0o
步骤 0 令 n:= 1, Y1:=0o
步骤 1:输入 xn EX, YnE mf(Y0),并调用算法 SPROC.ACTIV.MISIP ,输出
^n, Sn, ^^n,
步骤 2:形成新的约束集:
Yn+i: = ^YnU J 坚
j£j>6
1<j<n-1
步骤 3:求解问题 P(Yn+i)可得 %n+1 E X°,满足 Q(xn+1,Yn+i) <sn+io
步骤4:令n: = n+1,返回步骤1o
4.5数值仿真结果及分析
本小节主要进行数值仿真及结果分析,运行环境为 Intel i5-7200U 2.7 GHz, 8GB RAM的Lenovo-PC,并在Matlab R2018a环境下调用商业求解器CPLEX11[55]对涉及到 的线性规划问题进行求解,并将求解器CPLEX的求解精度设置为0.05。
为了验证本章所提含风电 UC 问题 MISIP 模型的实用性以及算法 SOAM 求解相应 问题的有效性,我们主要利用 10~100 台火电机组和 1 个风电机组等六个系统在 24 个时 段上进行数值仿真测验。10台火电机组在24时段上的发电机参数以及相应的系统负荷 数据均与原纯火电 UC 问题保持一致,详细数据来源于文献[56],由火电机组引起污染 物排放的系统参数来源于文献[57],系统总的备用量选取为系统总负荷的5%,即心= 5%0PD:to将德克萨斯州两个相邻风电场(W1、W2) [67]视为一个风电机组,其相应数据为 W1和W2模拟场景所对应数据的均值。权重因子Wt = We = 1,污染物排放的惩罚因 子百=1$(Ton)(i = 1,2,…,N)。在整个计算过程中,我们将算法4.1和算法4.2中涉及
37
 
至到勺相关参数分别设置为 S = 0.1, 80 = 2, sn = max(s0(1.1)-n, 10-2), (sn = £o(1.1)-n, n = 1,2,—,o
为了说明火电机组在不同场景下的具体出力情况,接下来我们以 10 台火电机组和 一个风电机组组成系统在24时段内的运行为例进行测验。首先我们利用前面所述方法 和技术,类似地在每个时段可模拟生成相关代表性场景并得到有关数据,然后将其代入 本章所提含风电 UC 问题的 MISIP 模型中进行计算,可得出 10 台火电机组在对应六个 场景下有功出力的具体情况,详细结果见图4-4。由图4-4可知,随着场景中风电机组 实际输出量的增加,对应时段火电机组的有功出力会随之减少。
 
为了更加合理安排整个电力系统安全经济的运行,此处我们仍以 10 台火电机组和 一个风电机组组成的系统为例,通过计算可以得到各个场景所对应的目标函数即系统发 电总费用,见图4-5o由于各个场景本身发生的概率之间差异比较小,整体上而言较为 均匀,因此所得风电功率场景可以较为真实地模拟实际风电功率的发生情况,进而可有 效减少电力系统运行过程中一些意外事故的发生,以确保整个电力系统安全经济的运行。
38
 
 
场景1 场景2 场景3 场景4 场景5 场景6
图 4-5 六个场景的目标函数值
Figure 4-5 Objective function values in six scenes
接下来分别给出 6场景下 10、 20、 40、 60、 80、 100 机组系统的数值仿真结果,其 中 20、 40、 60、 80、 100 台火电机组 24 时段系统的相关数据可以通过复制10 台火电机 组的相关数据而得到。10〜100台机组加一个风电机组在24时段内对应的系统总费用、 计算时间以及求解过程中的迭代次数,结果见表 4-4o
表 4-4 包含 6 场景含风电 UC 问题的 SOAM 计算结果
Table 4-4 Computing results for SOAM of six scenes including wind power UC problem
机组数 10 20 40 60 80 100
系统总
费用($) 671305 1407894 2994601 4672020 6407331 8188766
计算时
间(s) 2.4 5.9 27.5 35.6 65.0 124.8
迭代次
数(次) 3 2 3 3 3 3
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为了更加清楚地展示风电机组加入电力系统后对火力发电机组的影响,表4-5 详细 给出了 10台火电机组在24时段内的具体出力情况、机组状态以及污染物排放量。机组 状态分别用“1”和“0”表示, “1”表示在这个时段内火电机组处于开机状态, “0” 表示在这个时段内火电机组处于停机状态。我们利用前面所述方法和技术对风电功率随 机性的处理,使其更加接近整个电力系统的实际需求,故火电机组在部分时段可完全处 于关闭状态。由表4-5可知,10台火电机组在24时段内的污染物排放总量为207,309(Ton), 污染物的排放成本为207,309 $o
表 4-5 10 台火电机组 24 时段系统调度计划、机组状态及污染物排放量
Table 4-5 Units scheduling, status and pollutant emission for the 10-thermal units and 24 hours systems
机组数
时段数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 机组状态 污染物 排放量
1 259 244 0 0 0 0 0 0 0 0 1100000000 2777
2 290 275 50 0 0 0 0 0 0 0 1100000000 3840
3 288 272 82 0 0 0 0 0 0 0 1110000000 3871
4 235 220 115 0 0 0 0 0 0 0 1110000000 5697
5 246 230 125 0 87 40 0 0 0 0 1110110000 6632
6 225 209 113 104 98 56 0 0 0 0 1111110000 6926
7 229 213 115 104 130 64 0 0 0 0 1111110000 7418
8 298 283 130 104 130 64 67 0 0 0 1111111000 11836
9 328 313 130 104 130 64 68 0 0 0 1111111000 13880
10 347 332 130 104 130 77 68 0 0 0 1111111000 15400
11 364 361 130 104 124 64 68 0 0 0 1111111000 17381
12 332 316 130 104 130 80 85 67 0 0 1111111100 14706
13 293 278 130 104 130 80 84 54 44 44 1111111111 12876
14 283 268 130 104 130 80 67 54 44 44 1111111111 12142
15 202 186 99 104 130 80 50 54 33 44 1111111111 6692
16 191 175 93 104 130 80 26 54 30 44 1111111111 6063
17 219 203 109 104 130 69 26 54 41 33 1111111111 7441
18 283 268 130 104 104 64 26 54 22 25 1111111111 11030
19 364 357 130 0 104 64 0 0 21 0 1110110010 15377
20 254 258 130 98 99 60 0 0 0 0 1111110000 9179
21 221 232 97 98 0 52 0 0 0 0 1111010000 6777
22 180 164 87 72 72 0 0 0 0 0 1111100000 3942
23 182 166 57 0 0 0 0 0 0 0 1110000000 3119
24 150 150 25 0 0 0 0 0 0 0 1110000000 2307
40
4.6小结
本章主要提出了一种求解含风电UC问题的SOAMo由于风力发电具有一定的随机 性和不确定性,首先通过对风电功率进行不确定性的建模,利用蒙特卡洛随机抽样法产 生风电功率样本点,并借助K-means聚类算法将其简化为几类具有一定概率发生的典型 性场景。由于含随机变量风电的UC问题中包含无限多约束,且既包含连续变量又包含 整数变量,因此首先可将其建模为 MISIP 模型,然后通过风电功率的不确定性建模可将 含无限多约束的问题转换为包含有限约束的问题,最后利用SOAM去求解。SOAM主 要包含利用主动搜索来增加相关约束和去除不相关约束两个步骤,并在每次迭代中利用 多起点技术来搜索相关约束的参数找到最优解决方案。数值仿真结果表明本章考虑的优 化模型是合理的,所提算法SOAM可以高效的求解含风电UC问题。
41
第 5 章 总结与展望
5.1结论
本学位论文主要从确定性和不确定性两个方面分别深入研究了含风电UC问题的相 关数学模型以及有效求解方法。主要研究成果如下:
第一,提出了求解计及弃风和污染物排放UC问题的外逼近法。首先通过借助一定 的线性化技术建立计及弃风和污染物排放UC问题的MIQP模型,然后利用外逼近法去 求解MIQP模型。外逼近法的主要思想是将原比较复杂的MIQP模型分解为相对简单的 MILP 主问题和 NLP 子问题,并通过有限次交替迭代求解来得到原复杂问题较为满意的 解。最后数值仿真结果表明,本文考虑计及弃风和污染物排放UC问题的MIQP确定性 模型具有一定实用性和经济性,且外逼近法更适合解决大规模的UC问题。
第二,提出了求解含风电UC问题的随机外逼近法。由于风力发电具有一定的随机 性和不确定性,将风力发电作为随机变量进行考虑,建立含随机因素风电 UC 问题的 MISIP模型,然后利用随机外逼近法去求解MISIP模型。建模时利用蒙特卡洛随机抽样 法生成一系列的风电功率样本点,并利用 K-means 聚类算法将所得样本点简化为几类具 有一定概率发生的典型性场景。随机外逼近法主要包含利用主动搜索来增加相关约束和 去除不相关约束,并在每次迭代过程中利用多起点技术来搜索相关约束的参数。数值仿 真结果表明,本文考虑的优化模型是合理的,且随机外逼近法也可以有效地求解含风电 UC问题。
5.2主要创新点
(1) 本文通过预留一定的备用电量来应对风电的不确定性,并借助于一些线性化 技术来建立计及弃风和污染物排放 UC 问题的确定性混合整数二次规划模型,然后利用 外逼近法去求解该模型。
(2) 本文针对风力发电量的不确定性和实时出力的波动性,建立含风电 UC 问题 的混合整数半无限规划模型,然后利用随机外逼近法去求解该模型。
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(3)数值仿真结果表明本文所提模型的合理性和所用方法的有效性。
5.3展望
虽然本文在含风电UC问题的相关数学模型和求解方法中已经取得了上述主要研究 成果,但是仍有许多研究工作需要做进一步探讨。在后续的研究中,我们可以考虑同时 包含其它新型可再生能源(如太阳能等)和风电的 UC 问题,也可以利用外逼近法和随机 外逼近法去求解包含潮流安全约束的含风电UC问题等。
43
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